ModSim ass4 taddeus: Wrote 'Theorie' section of report.

modsim/ass4_taddeus/vibstring/report/report.tex

 \documentclass[10pt,a4paper]{article}
 \usepackage[dutch]{babel}
 \usepackage[utf8]{inputenc}
-\usepackage{booktabs,graphicx,float,hyperref}
+\usepackage{booktabs,graphicx,float,hyperref,amsmath}
 
 % Paragraph indentation
 \setlength{\parindent}{0pt}
@@ -20,14 +20,145 @@
 
 \section{Inleiding}
 
-Het tweede deel van practicumopdracht 4 omhelst het programmeren van een
+Het tweede deel van practicumopdracht 4 omhelst het simuleren van een
+trillende snaar in een parallel programma. Hierbij wordt ook een sequëntieel
+programma ontwikkeld, zodat de stijging in performance door parallellisatie kan
+worden bepaald.
 
 \section{Theorie}
 
-
+\subsection{Simulatie}
+
+De uitwijking van de snaar wordt gegeven als een functie van positie en tijd.
+De bijbehordende differentiaalvergelijking is
+$$\frac{\delta^2 y}{\delta t^2} = c^2 \frac{\delta^2 y}{\delta x^2}$$
+De oplossing van deze vergelijking, $y(x, t)$, is de uitwijking van het punt
+van de snaar op positie $x$ op een bepaald moment in de tijd $t$. Om een
+computersimulatie te kunnen uitvoeren moet deze oplossing worden
+gediscretiseerd. De formule hiervoor is gegeven in de opdracht:
+$$y(x_i, t_j + \Delta t) = 2y(x_i, t_j) - y(x_i, t_j - \Delta t)
+    + \tau^2(y(x_i - \Delta x, t_j) - 2y(x_i, t_j) + y(x_i + \Delta x, t_j))$$
+
+Met:
+$$\tau = \frac{c \Delta t}{\Delta x}$$
+$\tau$ geeft de stabiliteit van de oplossing. In het document dat is
+meegeleverd met de opdracht is bewezen dat de oplossing stabiel is als, en
+alleen dan als $\tau \leq 1$.
+
+\subsubsection*{Initialisatie}
+Voor de begintoestand ($t = 0$) van de snaar zijn er twee toestanden
+geïmplementeerd:
+\begin{itemize}
+    \item Een sinusvorm: $y(x) = sin(n \pi \frac{x}{l})$. Hierbij is $n$ een
+        constante en $l$ is de lengte van de snaar.
+    \item Een snaar vastgegegrepen op positie $x_p$:
+        $$y(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
+            \frac{x}{x_p}         & (x < x_p) \\
+            \frac{l - x}{l - x_p} & (x > x_p) \\
+        \end{array} \right.$$
+\end{itemize}
+
+De gegeven formule berekent de toestand van een punt $x_i$ op de snaar op het
+tijdstip $t_j + \Delta t$. Hiervoor zijn de vorige twee tijdstoestanden nodig
+(op tijdstip $t_j$ en $t_j - \Delta t$). Bovenstaande initialisatiemethoden
+berekenen alleen de toestand van de snaar op $t = 0$. Om de toestand op $t = 1$
+te berekenen zijn volgens de gegeven formule de tooestand op $t = 0$ en op $t =
+-1$ nodig. Omdat de toestand op $t = -1$ onbekend is, moet $y(x_i, 1)$ op een
+andere manier worden berekend. Voor dit uitzonderingsgeval wordt gebruik
+gemaakt van het feit dat de snaar op tijdstip $t = 0$ in rusttoestand is. Dit
+betekent dat de toestand op tijdstip $t = -1$ gelijk is aan de toestand op
+tijdstip $t = 1$. Met dit gegeven kan de formule als volgt worden beschreven
+voor $t = 1$:
+
+\begin{tabular}{rl}
+$y(x_i, t_1)$ & $= 2y(x_i, t_0) - y(x_i, t_{-1})
++ \tau^2(y(x_i - \Delta x, t_j) - 2y(x_i, t_j) + y(x_i + \Delta x, t_j))$ \\
+& $= 2y(x_i, t_0) - y(x_i, t_1)
++ \tau^2(y(x_i - \Delta x, t_j) - 2y(x_i, t_j) + y(x_i + \Delta x, t_j))$ \\
+\end{tabular}
+$$ 2y(x_i, t_1) = 2y(x_i, t_0)
+    + \tau^2(y(x_i - \Delta x, t_j) - 2y(x_i, t_j) + y(x_i + \Delta x, t_j)) $$
+$$y(x_i, t_1) = y(x_i, t_0) + \frac{1}{2}
+    \tau^2(y(x_i - \Delta x, t_j) - 2y(x_i, t_j) + y(x_i + \Delta x, t_j))$$
+
+Deze formule heeft alleen de toestand op $t = 0$ nodig. In de implementatie
+moet (alleen) voor het tijdstip $t = 1$ dus deze omgeschreven formule worden
+gebruikt, in plaats van de gegeven formule.
+
+\subsection{Parallellisatie}
+
+Omdat voor de toestand van een punt op de snaar de vorige tijdtoestand nodig
+is, zijn er weinig mogelijkheden om te parallelliseren in de tijddimensie.
+Omdat deze afhankelijkheid er in de afstandsdimensie niet is (om de uitwijking
+op een punt van de snaar te berekenen zijn immers alleen waarden uit de vorige
+tijdstippen nodig), is ervoor gekozen om hierin te parallelliseren. Dit gebeurt
+door het verdelen van de snaar in stukken van een grootte die proportioneel is
+aan de verwerkingskracht van de bijbehorende ``node''. Omdat de computers die
+in dit geval worden gebruikt hetzelfde zijn, kan de snaar in gelijke stukken
+worden verdeeld. Elke node berekent voor zijn eigen snaargedeelte steeds de
+volgende tijdstpestand voor elke positie op het gedeelte, waarbij tussen de
+tijdstappen de meest linker- en rechter waardes worden opgehaald van de
+``omliggende'' nodes.
+
+Omdat slechts voor de twee randwaardes telkens hoeft te worden gecommuniceerd
+tussen de nodes, zal de parallellisatie waarschijnlijk weinig overhead
+opleveren. Vooral bij een kleine $\Delta x$ verwacht ik dat het parallelle
+programma een merkbare performancewinst zal laten zien. Merk op dat tijdens de
+communicatie moet worden gewacht op de randwaardes van de omliggende nodes, wat
+ervoor kan zorgen dat een node korte tijd ``idle'' is.
+
+\subsubsection*{Tijdstappen parallelliseren}
+
+Bij wijze van gedachtenexperiment ben ik nagegaan of er in de tijdsdimensie ook
+te parallelliseren is, en het viel mij op dat een vorm van ``pipelining'' te
+implementeren zou zijn:
+
+Op het moment dat de toestand op het punt $i$ tijdstip $j$ ($y(x_i, t_j)$) is
+berekend, kan de volgende toestand ($y(x_i, t_{j + 1})$) pas worden berekend
+wanneer $y(x_{i - 1}, t_j)$ en $y(x_{i + 1}, t_j)$ zijn berekend. De rest van
+de posities zijn irrelevant, en hoeven dus ook niet te worden berekend voordat
+$y(x_i, t_{j + 1})$ kan worden berekend. In berekeningsstappen is dit als volgt
+uit te beelden:
+\begin{table}[H]
+\begin{tabular}{rc}
+    $\stackrel{\uparrow}{t}$ &
+    $
+    \left. \begin{array}{ccccc}
+    1      & 2      & 3      & 4      & \ldots \\
+    4      & 5      & 6      & \ldots & \ldots \\
+    6      & 7      & \ddots & \ldots & \ldots \\
+    8      & \vdots & \vdots & \ddots & \ldots \\
+    \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\
+    \end{array} \right.
+    $ \\
+    & $x \rightarrow$ \\
+\end{tabular}
+\end{table}
+
+We zien dat op het moment dat van de eerste toestand de derde waarde is
+berekend, van de tweede toestand de eerste waarde kan worden berekend, etc..
+Deze methode is moeilijk te implementeren en zal veel communicatie vergen
+tussen de verschillende processen. Het is daarom niet verstandig om eerst in
+de tijddimensie te parallelliseren. De genoemde eigenschappen zouden echter
+wellicht wel kunnen worden gebruikt als uitbreiding op het verdelen van de
+snaar in delen, bijvoorbeeld zou bij het wacthen op de randwaardes van
+omliggende nodes al in het midden van het snaargedeelte kunnen worden begonnen
+met doorrekenen (merk op dat het maximum aantal door te rekenen tijdsstappen in
+dat geval een maximum heeft dat proportioneel is aan het aantal afstandsstappen
+van het snaargedeelte).
 
 \section{Implementatie}
 
+\subsection{Sequentiëel}
+
+
+
+\subsection{Parallel}
+
+
+
+\subsection{Shell scripts}
+
 
 
 \subsection{Gebruik}
@@ -36,6 +167,19 @@ Het tweede deel van practicumopdracht 4 omhelst het programmeren van een
 
 \section{Resultaten}
 
+\subsection{Trillende snaar}
+
+
+
+\subsubsection*{Parallellisatie}
+
+
+\subsection{Performance}
+
+
+
+\appendix
+
 %\begin{figure}[H]
 %    \label{fig:sinus}
 %    \includegraphics[width=15cm]{sinus.pdf}